Ohno potential Fourier transform

Ohno potential 은 다음과 같은 형태를 갖는 potential을 말한다

$$ V_{ij} = \frac{1}{\sqrt{(|R_i - R_j|/e^2)^2 + (1/U)^2}}  $$

 

on-site에서 Hubbard-like potential을 주고, different site에서 screened Coulomb potential의 형태를 갖는다. 계산하려는 diagram에서 이것의 Fourier transform이 필요한데, 인터넷에 검색해보니 physicsforum에서 아래의 table 적분을 하나 주는데, https://www.physicsforums.com/attachments/definite-integral-jpg.47111/. 레퍼런스를 알 수도 없고 해서 일단 계산 진행해보고 numerical check를 해본다.

 

먼저 $r$ 에 대해서 potential을 다시 적고,

$$ V(r) = \frac{1}{\sqrt{r^2/e^4 + 1/U^2}} = \frac{e^2}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} $$

 

momentum 에 대해서 Fourier transform 하게 되면,

$$ \begin{align*} V(q) &= \int e^{-i\mathbf{q\cdot r}}V(r)d\mathbf{r} \\
&= \int \frac{e^2}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} e^{-iqr\cos\theta} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \\
&= -2\pi e^2 \int_0^\infty \int_1^{-1} \frac{r^2}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} e^{-iqru} dr du \\
&= 2\pi e^2 \int_0^\infty \int_{-1}^{1} \frac{r^2}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} e^{-iqru} dr du \\
&= 2\pi e^2 \int_0^\infty \frac{r^2}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} \left[\frac{e^{-iqr}}{-iqr} + \frac{e^{iqr}}{iqr} \right] du \\
&= 4\pi e^2 \int_0^\infty \frac{r^2\sin(qr)}{qr\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} dr \\
&= \frac{4\pi e^2}{q} \int_0^\infty \frac{r\sin(qr)}{\sqrt{r^2 + e^4/U^2}} dr \\ \end{align*} $$

 

이 적분은 삼각치환을 해서 더 간단해질 수 있다. $a^2=e^4/U^2$ 로 두고,

$$ r = a\sinh(t) \quad dr = a\cosh(t) dt $$

과 같이 삼각치환한 다음,

$$ \begin{align*}
V(q) &= \frac{4\pi e^2}{q} \int_0^\infty \frac{a\sinh(t)\sin(qa\sinh(t))}{\sqrt{a^2\sinh^2(t) + a^2}} a\cosh(t)dt \\
&= \frac{4\pi e^2 a}{q} \int_0^\infty \frac{\sinh(t)\sin(qa\sinh(t))}{a\cosh(t)} a\cosh(t)dt \\
&= \frac{4\pi e^2 a}{q} \int_0^\infty \sinh(t)\sin(qa\sinh(t)) dt \\
&= \frac{4\pi e^2 a}{|\mathbf{q}|} K_1(a|\mathbf{q}|)
\end{align*} $$

 

여기서 $K_1$은 modified Bessel function of the second kind 이다. 마지막 줄은 적분 table에서 나오는 것 같은데 위의 이미지를 참조하거나 chatgpt 같은 애들한테 적분 시켜보면 [늘 틀리지만] $a^2$ factor인지 $a$ factor 인지 헷갈려서 julia에서 테스트해본다. 편의상 $e^2 = 1$로 두고 $U$의 값을 조절한다. 비교할 대상은 Coulomb potential,

$$ V(r) = \frac{4\pi e^2}{r} $$

이고, 이것의 Fourier transformation 은

$$ V(q) = \frac{4\pi e^2}{q^2} $$

으로 잘 알려져있다. 주목해야할 것은 $U \rightarrow \infty$ 의 극한에서 Ohno potential은 Coulomb potential과 같아져야 한다. $q_y = q_z = 0$으로 두고, $q_x$의 값에 따라 scan을 하고 여러  U값에 대해서 결과를 보면,

 

위의 결과가 맞는 값이다. 참고로 헷갈렸던 factor인 $a^2$ 가 분자에 들어가있으면, $U$ 가 매우 큰 값일때 potential이 모든 구간에서 0의 값을 갖는 simulation 결과가 있었으므로 그건 틀린 결과를 준다.