2025 수능 수학영역 풀이 - 기하와 벡터 30 (홀수형)

기하와 벡터 30번 문제는 뭔가 도움이 될 것 같아서 작성한다.

기하와 벡터 문제 30번.

좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정사각형 ABCD가 있다.

$$
\left|\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\right| = \left|\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XC} \right|
$$

를 만족시키는 점 $X$ 가 나타내는 도형을 $S$라 하자.

도형 $S$ 위의 점 $P$에 대하여

$$
4\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}
$$

를 만족시키는 점을 $Q$라 할 때, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 하자. $M\times m$의 값을 구하시오.

Code

using LinearAlgebra

A = [0, 4]
B = [0, 0]
C = [4, 0]
D = [4, 4]

gridsize = 1000
tol = 0.001
X_range = [[4*i/gridsize, 8*j/gridsize-4] for i in 1:gridsize-1 for j in 1:2*gridsize-1]
X_condition(X) = abs(norm((B-X)+(C-X)) - norm((B-X)-(C-X))) < 0.01
S = filter(X_condition, X_range)
Q_condition(P) = ((D-P).*2+(B-P))./4+P
Qs = Q_condition.(S)

inner_val = (x -> sum((C-A).*(x-A))).(Qs)
minval, minidx = findmin(inner_val)
maxval, maxidx = findmax(inner_val)

maxQ = Qs[maxidx]
minQ = Qs[minidx]

minval*maxval

Output

315.979776

설명

• 사실 30번이지만, 알아야할 것은 없다. 좌표평면에 적당한 점들을 샘플하고 문제의 조건을 만족시키는 점들에 대해서 최대, 최소를 구하면 된다. 이런 문제들은 컴퓨터로 풀기에 아주 편리하다.

하지만, 이렇게 316이라는 답만 구하면, 보는 사람은 아무 도움도 안되기 때문에 대략 문제의 상황에 대해서 그림을 그려보면 좋을 것 같다.

Code

using Plots

Sxs = (x -> x[1]).(S)
Sys = (x -> x[2]).(S)
Qxs = (x -> x[1]).(Qs)
Qys = (x -> x[2]).(Qs)

function plot_line(A, B; kwargs...)
    plot([A[1], B[1]], [A[2], B[2]]; kwargs...)
end

function plot_line!(A, B; kwargs...)
    plot!([A[1], B[1]], [A[2], B[2]]; kwargs...)
end

plot_line(A, B; primary=false)
plot_line!(B, C; primary=false)
plot_line!(C, D; primary=false)
plot_line!(D, A; primary=false)
scatter!(Sxs, Sys, size=(400,600), markersize=1, label="S")
scatter!(Qxs, Qys, size=(400,600), markersize=1, label="Qs")
scatter!([maxQ[1]], [maxQ[2]], markersize=7, label="maxQ")
scatter!([minQ[1]], [minQ[2]], markersize=7, label="minQ")
plot_line!(A, C; label="AC")
plot_line!(A, maxQ; label="AC⋅AQ max")
plot_line!(A, minQ; label="AC⋅AQ min")

Output

기하와 벡터 풀이 30

설명

• 문제의 상황에 맞게 그림을 그린 것이다. 먼저 문제를 풀다보면 도형 S를 그리게 되는데, 이는 $BC$의 중점을 중심으로 갖고 반지름이 $2$인 원이 된다
• 도형 $S$위의 점 $P$에 대해서 다시 문제의 조건을 만족하는 점 $Q$를 그리게 되면, 다시 작은 원이 되는데 이때 원의 반지름은 $1/2$로 주어진다
• 지금 문제에서 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$의 최대 최소를 구해야 하는데, 해당하는 조건을 만족하는 점을 각각 maxQ, minQ로 표시했다
• 최대 최소 조건을 만족하려면 $\overrightarrow{AQ}$의 $AC$로의 정사영의 길이가 최대, 최소가 되어야 하는데 대략 그림으로 확인할 수 있다

사실 기하와벡터가 코드는 복잡하지 않다. 도형 위의 점들 같은 것들은 샘플링해서 풀 수 있기 때문이다. 그러나 수치적으로 풀 수 있다고 해서 그 문제에 대해서 이해한 것은 아니다 왜 저런 도형들이 나오고, 최대 최소를 만족시키는 점의 위치는 다른 변수들로 표현했을 때 어떻게 되는지, 이런 것들을 파악하려면 수학을 알아야 한다.